初二数学等腰三角形知识点解析

　　等腰三角形(isosceles triangle)，指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。今天学习啦小编将与大家分享：初二数学等腰三角形相关知识点解析。具体内容如下：

　　等腰三角形性质：

　　(1)具有一般三角形的边角关系

　　(2)等边对等角;(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合;

　　(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线;(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半;(6)顶角等于180°减去底角的两倍;(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角.

　　等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形.

　　等边三角形性质：

　　①具备等腰三角形的一切性质。

　　②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等并且每个都是60°。

　　5. 等腰三角形的判定：

　　①利用定义;②等角对等边;

　　等边三角形的判定：

　　①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形

　　②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

　　含30°锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。

　　三角形边角的不等关系;长边对大角，短边对小角;大角对长边，小角对短边。

　　等腰三角形的分类：

　　等腰直角三角形

　　1、定义

　　有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。

　　2、关系

　　等腰直角三角形的边角之间的关系 ：

　　⑴三角形三内角和等于180°。

　　⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

　　⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

　　⑷三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

　　⑸在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。

　　3.四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。

　　⑴三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。

　　⑵三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

　　⑶三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

　　⑷三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。

　　⑸三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

　　(6)三角形斜边上的高等于斜边的一半。

　　备注：

　　①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .

　　②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

　　③直角三角形垂心、外心在三角形的边上(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点)。

　　④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

　　黄金三角形

　　1.名称定义

　　所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值。对应的还有黄金矩形等。

　　2.黄金三角形的分类

　　黄金三角形分两种：

　　一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2。

　　另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2。

　　3.黄金三角形的特征

　　黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形。这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线。

　　黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

　　把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。

　　根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。

　　设小三角形的底为a，则腰为b=(√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍，则大三角形的边长

　　为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

　　大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：B=2a+b。

　　而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：

　　2ab

　　可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充。故命题错。

　　另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。

　　设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。

　　同样可以证明：

　　A=2b+a

　　2b

　　a

　　可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充(图2)。故命题错。

　　事实上，勾为a，股为b=2a的;直角三角形可以满足命题要求。

　　显然，弦c=√a2+b2 =√5 a。

　　三角形的对应边：

　　A=√5 a=c，

　　B=2A=2c，

　　C=√5 *(√5a)=5a=2b+a 。

　　满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。

　　顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。