直角三角形同步练习及参考答案

　　直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²;(勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)(AD)²=BD·DC。(2)(AB)²=BD·BC。性质6：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。

　　直角三角形同步练习题

　　1.下列命题中，是真命题的是 ( )

　　A.相等的角是对顶角 B.两直线平行，同位角互补

　　C.等腰三角形的两个底角相等 D.直角三角形中两锐角互补

　　2.若三角形三边长之比为1∶ ∶2，则这个三角形中的最大角的度数是 ( )

　　A.60° B.90°　　　C.120° D.150°

　　3.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于 ( )

　　A. ∶1∶2 B.1∶2∶ C.1∶ ∶2 D.2∶1∶

　　4.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第

　　三条边所对的角的关系是 ( )

　　A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.相等或互余

　　5.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是 ( )

　　A.一边和这边上的高对应相等 B.两边和第三边上的高对应相等

　　C.两边和其中一边的对角对应相等 D.两个直角三角形中的斜边对应相等

　　6.在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是 .

　　7.已知△ABC中，边长a，b，c满足a2= b2= c2，那么∠B= .

　　8.如图1-46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 海里(结果保留根号).

　　9.已知等腰三角形ABC中，AB=AC= cm，底边BC= cm，求底边上的高AD

　　的长.

　　10.如图1-47所示，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，若AB=

　　12 cm，BC=16 cm.

　　(1)求AE的长;

　　(2)求重合部分的面积.

　　11.如图1-48所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.

　　(1)求证B′E=BF;

　　(2)设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b， c之间的一种关系，并给出证明.

　　12.三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等;②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需走的最大距离(看守点到本区域内最远处的距离)相等.按照这一原则，他们先设计了一种如图1-49(1)所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点)，看守自己的一块牧场.过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图1-49(2)所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心.牧童C的划分方案如图1-49(3)所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等.

　　(1)牧童B的划分方案中，牧童 (填“A”“B”或“C”)在有情况时所需走的最大距离较远.

　　(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示：在计算时可取正方形边长为2)

　　直角三角形同步练习参考答案

　　1.C [提示：可以举出例子说明A，B，D为假命题.]

　　2.B [提示：设三边长分别为a，a，2a，则a2+( a)2=(2a)2，为直角三角形.]

　　3.D [提示：∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°.]

　　4.C [提示：如图1-50(1)所示，已知AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD=A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B=∠B′.如图1-50(2)所示，可知此时两角互补.]

　　5.B [提示：利用HL可证明.]

　　6. a 或 a[提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况.]

　　7.60°[提示：b2=3a2，c2=4a2 c2=a2+b2，b= a，c=2a.

　　8.40+40 [提示：在Rt△ACP中，APC=45°，AP=40 ,∴AC=PC=40.在Rt△PCB中，∠PBC=30°，BC=40 , ∴AB=AC+BC=40+40 . ]

　　9.解：∵AD为底边上的高∴BD=CD= BC= × = (cm).在Rt△ABD中由勾股定理，得AD= = =2cm

　　10.解：(1) ∵∠CBD= ∠ FBD(轴对称图形的性质)，又∠CBD=∠ADB(两直线平行，内错角相等)，∴∠FBD=∠ADB(等量代换).∴EB=ED(等角对等边).设AE=xcm，则DE=(16一x)cm，即EB=(16一x)cm，在Rt△ABE中，AB2=BE2一AE2即l22=(16一x)2一x2，解得x=3.5.即AE的长为3.5 cm. (2)BA⊥AD，∴S△BDE= DE•BA= ×(1 6—3.5)×12=75(cm2).

　　11.(1)证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE.在矩形ABCD中，AD∥BC，

　　∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E.∴B′E=BF. (2)解：a，b ,f三者关系有两种情况.①a，b,c三者存在的关系是a2十b2=c2.证明如下：连接BE，则BE= B′E.由(1)知B′E=BF=c∴BE=c.在△ABE中，∠A=90°∴AE2+AB2=BE2∵AE=a AB=b，∴a2+b2=c2.②a.b，c三者存在的关系是a+b>c证明如下：连接BE，则BE=B′E.由(1)知B′E=BF=c，BE=f.在△ABE中，AE+AB>BE∴a+b>c.

　　12.解：(1)C [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法

　　适用于标准作图.] (2)牧童C的划分方案不符合他们商量的.

　　划分原则.理山如下：如图1-52所示，在正方形DEFG中，四边

　　形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，则EN=NF， S矩形HENM=S矩形MNFP，取正方形边长为2.设HD=x，

　　则HE=2一x,在 Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得

　　EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x = ,∴HE=2- x = ,

　　∴S矩形HENM=S矩形MNFP=1× = ,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN

　　∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则.