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完全平方公式教学设计

时间: 子文2 初三数学

  《完全平方公式》教学设计

  计算:

  (1)(x+1)2; (2)(x-1)2;

  (3)(a+b)2; (4)(a-b)2.

  由上述计算,你发现了什么结论?

  二、合作探究

  探究点:完全平方公式

  【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算

  利用完全平方公式计算:

  (1)(5-a)2;

  (2)(-3m-4n)2;

  (3)(-3a+b)2.

  解析:直接运用完全平方公式进行计算即可.

  解:(1)(5-a)2=25-10a+a2;

  (2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2;

  (3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.

  方法总结:完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为“首平方,末平方,首末两倍中间放”.

  【类型二】 构造完全平方式

  如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值.

  解析:先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值.

  解:∵36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+1)xy+(5y)2,∴(m+1)xy=±2?6x?5y,∴m+1=±60,∴m=59或-61.

  方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.

  【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算

  利用完全平方公式计算:

  (1)992; (2)1022.

  解析:(1)把99写成(100-1)的形式,然后利用完全平方公式展开计算.(2)可把102分成100+2,然后根据完全平方公式计算.

  解:(1)992=(100-1)2=1002-2×100+12=10000-200+1=9801;

  (2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+4=10404.

  方法总结:利用完全平方公式计算一个数的平方时,先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差,然后根据完全平方公式展开计算.

  【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值

  若(x+y)2=9,且(x-y)2=1.

  (1)求1x2+1y2的值;

  (2)求(x2+1)(y2+1)的值.

  解析:(1)先去括号,再整体代入即可求出答案;(2)先变形,再整体代入,即可求出答案.

  解:(1)∵(x+y)2=9,(x-y)2=1,∴x2+2xy+y2=9,x2-2xy+y2=1,4xy=9-1=8,∴xy=2,∴1x2+1y2=x2+y2x2y2=(x+y)2-2xyx2y2=9-2×222=54;

  (2)∵(x+y)2=9,xy=2,∴(x2+1)(y2+1)=x2y2+y2+x2+1=x2y2+(x+y)2-2xy+1=22+9-2×2+1=10.

  方法总结:所求的展开式中都含有xy或x+y时,我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中,整体求解.

  【类型五】 完全平方公式的几何背景

  我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)2-(a-b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是(  )

  A.a2-b2=(a+b)(a-b)

  B.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2

  C.(a-b)2=a2-2ab+b2

  D.(a+b)2=a2+2ab+b2

  解析:空白部分的面积为(a-b)2,还可以表示为a2-2ab+b2,所以,此等式是(a-b)2=a2-2ab+b2.故选C.

  方法总结:通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.

  【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题

  下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+b)n(n为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b)6展开式中所缺的系数.

  (a+b)1=a+b,

  (a+b)2=a2+2ab+b2,

  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,

  则(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+________a3b3+15a2b4+6ab5+b6.

  解析:由(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外,其余各项系数都等于(a+b)n-1的相邻两个系数的和,由此可得(a+b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1;(a+b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1;因此(a+b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1,故填20.

  方法总结:对于规律探究题,读懂题意并根据所给的式子寻找规律,是快速解题的关键.

  三、板书设计

  1.完全平方公式

  两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.

  (a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.

  2.完全平方公式的运用

  本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式,让学生自己总结出完全平方公式的特征,注意不要出现如下错误:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.为帮助学生记忆完全平方公式,可采用如下口诀:首平方,尾平方,乘积两倍在中央.教学中,教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

  《完全平方公式》知识点总结

  1.完全平方公式:

  完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;

  首尾括号带平方,尾项符号随中央。

  2.因式分解:

  一提(公因式)二套(公式)三分组,细看几项不离谱,

  两项只用平方差,三项十字相乘法,阵法熟练不马虎,

  四项仔细看清楚,若有三个平方数(项),

  就用一三来分组,否则二二去分组,

  五项、六项更多项,二三、三三试分组,

  以上若都行不通,拆项、添项看清楚。

  3.单项式运算:

  加、减、乘、除、乘(开)方,三级运算分得清,

  系数进行同级(运)算,指数运算降级(进)行。

  4.一元一次不等式解题的一般步骤:

  去分母、去括号,移项时候要变号,同类项合并好,再把系数来除掉,

  两边除(以)负数时,不等号改向别忘了。

  5.一元一次不等式组的解集:

  大大取较大,小小取较小,小大、大小取中间,大小、小大无处找。

  一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集:

  大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。


  看了“完全平方公式教学设计”

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