如何突破数学命题难点(2)

　　例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1)，求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

　　解析 充分性:当q=-1时，a1=p-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).于是当n≥1时，=p，即数列{an}为等比数列.

　　必要性：当n=1时，a1=S1=p+q;当n≥2时，an=Sn-Sn-1

　　=pn-1(p-1).因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列{an}为等比数列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

　　综上所述，q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件.

　　突破 证明p是q的充要条件需要分两步：①充分性，把p作为已知条件，结合命题的前提条件，推出q;②必要性，把q作为已知条件，结合命题的前提条件，推出p.最后综上所述，可得p是q的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它对结论成立是否必要;必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论成立是否充分.因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性，其结果有可能缩小范围;只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围.

　　3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分

　　例4 指出下列命题的真假.

　　(1) -1是奇数或偶数;

　　(2) 属于集合Q，也属于集合R;

　　(3) A?埭(A∪B).

　　解析 (1) 此命题为“p或q”的形式，其中p：-1是奇数;q：-1是偶数.因为p为真命题，所以原命题为真命题.

　　(2) 此命题为“p且q”的形式，其中p：属于集合Q;q：属于集合R.因为只有q为真命题，所以原命题为假命题.

　　(3) 此命题为“非p”的形式，其中p：A?哿(A∪B).因为p为真命题，所以原命题为假命题.

　　突破 判断如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假时，首先要确定命题的构成形式，然后判断其中各简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假.

　　例5 写出下列各命题的否定和否命题.

　　(1) 若x+y是偶数，则x，y都是奇数;

　　(2) 若xy=0，则x=0或y=0.

　　解析 (1) 命题的否定：若x+y是偶数，则x，y不都是奇数;否命题：若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数.

　　(2) 命题的否定:若xy=0，则x≠0且y≠0;否命题:若xy≠0，则x≠0且y≠0.

　　突破 命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设，又否定结论.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”;“x，y都是奇数”的否定是“x，y不都是奇数”而不是“x，y都不是奇数”.

　　4. “全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一个量词的命题的否定

　　例6 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，并判断真假.

　　(1) 有一个实数α，tanα无意义;

　　(2) 任何一条直线都有斜率;

　　(3) ?埚x<0，使x2+x+5<0;

　　(4) 自然数的平方是正数.

　　解析 (1) 存在性命题，当α=时，tanα无意义，因此原命题为真命题.

　　(2) 全称命题，当倾斜角为时，该直线斜率不存在，因此原命题为假命题.

　　(3) 存在性命题，由判别式可知Δ=1-4×5=-19<0，所以对?坌x∈R，x2+x+5>0，因此原命题为假命题.

　　(4) 全称命题，存在自然数0，其平方不是正数，因此原命题为假命题.

　　突破 ①要判定全称命题“?坌x∈M，p(x)”为真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立;如果集合M中找到一个元素x0，使得p(x)不成立，那么这个全称命题为假命题.②要判定存在性命题“?埚x0∈M，p(x)”为真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题.

　　例7 写出下列命题的否定.

　　(1) 面积相等的三角形是全等三角形;

　　(2) 有些质数是奇数;

　　(3) 对?坌x∈R，x2+x+1=0都成立;

　　(4) ?埚x∈R，x2+2x+5>0.

　　解析 (1) 原命题是全称命题，故其否定为:存在面积相等的三角形不是全等三角形.

　　(2) 原命题是存在性命题，故其否定为:所有的质数都不是奇数.

　　(3) 原命题是全称命题，故其否定为:?埚x∈R，使x2+x+1≠0.

　　(4) 原命题是存在性命题，故其否定为: 对?坌x∈R，x2+2x+5≤0都成立.

　　突破 全称命题与存在性命题的区别在于构成两种命题的量词不同.实质上，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，因此在书写全称命题与存在性命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手书写命题的否定.全称命题的否定是存在性命题，而存在性命题的否定是全称命题.

　　1. (2011年安徽理科卷)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________.

　　2. ( 2011年山东文科卷)已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.

　　3. (2011年湖南文科卷)“x>1”是“|x|>1”的

　　__________条件.

　　4. (2011年福建理科卷)若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的______________条件.

　　5. (2011年浙江理科卷)“α=”是“cos2α=”的______________条件.

　　6. (2011年山东理科卷)对于函数y=f(x)，x∈R，“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的____________条件.

　　7. (2011年浙江文科卷)若a，b为实数，则“0

　　8. (2011年四川文科卷)设函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f (x1)=f(x2)时，总有x1=x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.

　　给出下列命题：① 函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;② 指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数;③ 若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2);④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)

　　1. 存在一个能被2整除的数不是偶数. 2. 若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3. 3. 充分而不必要. 4. 充分而不必要. 5. 充分而不必要. 6. 必要而不充分. 　7. 既不充分也不必要. 8. ②③④.