数学不等式的恒成立问题的解决方法

　　下面和小编一起来看看高中数学不等式的恒成立问题的解决方法。

　　1、分离参数法

　　在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时，常用分离参数法.

　　例1已知函数(为常数)是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. (Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解析：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立

　　注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则;若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.

　　2、数形结合法

　　如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

　　例3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .

　　解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是

　　注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.

　　3、最值法

　　当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解.

　　例4 已知函数

　　(Ⅰ)当时，求的单调区间;

　　(Ⅱ)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解(Ⅱ)当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，;当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.

　　例5 对于任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立，求实数a的取值范围分析①：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解. 解法1：设f(x)=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,(x≤1)3，(-12) ∴f(x)min=3. ∴a<3.

　　分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f(x)=│x+1│+│x-2│的最小值.

　　解法2：设f(x)=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3， ∴f(x)min=3. ∴a<3.

　　分析③：利用绝对值的几何意义求解.

　　解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│>3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a<3时，│PA│+│PB│>a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立.∴实数a的取值范围为(-∞，3).

　　点评：求"恒成立问题"中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正(负)的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象. 从图象上直观得到0

　　4、构造函数法

　　在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如;

　　例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.

　　解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即

　　解得故的取值范围是.

　　评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。