高考数学直线与圆的方程复习题及答案
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。以下是学习啦小编整理了高考数学直线与圆的方程复习题及答案，希望对你的学习有帮助。
高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案：A
解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.
2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为
( )
A.x-y-3=0 B.x+y+3=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
答案：C
解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.
3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x+y-5=0
答案：D
解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.
4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )
A.-32 B.32 C.3 D.-3
答案：A
解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，
即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，
即在x轴上的截距为-32.
5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )
A.3 B.0 C.-1 D.0或-1
答案：D
解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.
6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是
( )
A.-32≤m≤2 B.-32
C.-32≤m<2 D.-32
答案：B
解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-32
7.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )
A.-5 B.1 C.2 D.3
答案：D
解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.
∵其面积为2，∴|AC|=4，
∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，
得a=3.故选D.
8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为
( )
A.3 B.2 C.6 D.23
答案：D
解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.
由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.
9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )
A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)=4
答案：C
解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.
10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )
A.2 B.-2C.2或-2 D.6或-6
答案：C
解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.
11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )
A.点在圆上 B.点在圆内C.点在圆外 D.不能确定
答案：C
解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.
12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )
A.π6 B.π2C.arccos79 D.arcsin229
答案：C
解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13.(2010•湖南长沙一中)已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax-y+3a=0.若l1⊥l2，则a=________.
答案：±1
解析：∵l1⊥l2，∴kl1•kl2=-1，即(-a)•a=-1，∴a=±1.
14.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y<4表示的平面区域内，则P点的坐标为__________.
答案：(-3,3)
解析：因|4a-9+1|5=4，∴a=7，a=-3.
当a=7时，不满足2x+y<4(舍去)，∴a=-3.
15.(2009•朝阳4月，12)已知动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，则直线l与圆：x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是________.
答案：相交
解析：动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：x=3cosθ，y=3sinθ，即x2+y2=9，且22+12<9，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：
x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交.
16.(2009•山东济南一模)若直线y=kx-2与圆x2+y2=2相交于P、Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，k的值为________.
答案：±3
解析：由图可知，点P的坐标为(0，-2)，
∠OPQ=30°，∴直线y=kx-2的倾斜角为60°或120°，∴k=±3.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17.(本小题满分10分)求经过7x+8y=38及3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.
解析：易得交点坐标为(2,3)
设所求直线为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0，
即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0，
令x=0，y=388-2λ，
令y=0，x=387+3λ，
由已知，388-2λ=387+3λ，
∴λ=15，即所求直线方程为x+y-5=0.
又直线方程不含直线3x-2y=0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x-2y=0亦为所求.
18.(本小题满分12分)已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程.
分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程.
解析：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，-4)或B′(3，-9)，截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意.
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.
解方程组y=k(x-3)+1，x+y+1=0，得
A(3k-2k+1，-4k-1k+1).
解方程组y=k(x-3)+1，x+y+6=0，得
B(3k-7k+1，-9k-1k+1).
由|AB|=5.
得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.
解之，得k=0，直线方程为y=1.
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1.
分析二：用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解.
解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d=|1-6|2=522，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ=5225=22，故θ=45°.
由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为：
x=3或y=1.
分析三：设直线l1、l2与l分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则通过求出y1-y2，x1-x2的值确定直线l的斜率(或倾斜角)，从而求得直线l的方程.
解法三：设直线l与l1、l2分别相交A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0.
两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25. ②
联立①、②可得
x1-x2=5，y1-y2=0，或x1-x2=0，y1-y2=5.
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.
故所求的直线方程为x=3或y=1.
19.(本小题满分12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程.
解析：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，
∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x+2y=0上，
∴a+2b=0， ①
(2-a)2+(3-b)2=r2. ②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为22，
∴r2-(a-b+12)2=(2)2 ③
解由方程①、②、③组成的方程组得：
b=-3，a=6，r2=52.或b=-7，a=14，r2=244，
∴所求圆的方程为
(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
20.(本小题满分12分)某集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班为单位)如下：
班级
学生数 配备
教师数 硬件建设
(万元) 教师年薪
(万元/人)
初中 60 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元?(利润=学费收入-年薪支出)
解析：设初中x个班，高中y个班，则
20≤x+y≤30 ①28x+58y≤1200 ②x，y∈N*
设年利润为s，则
s=60×0.06x+40×0.15y-2×1.2x-2.5×1.6y
=1.2x+2y
作出①、②表示的平面区域，如上图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.
由x+y=3028x+58y=1200解得A(18,12)
∴smax=1.2×18+2×12=45.6(万元).
即学校可规划初中18个班，高中12个班，可获得最大年利润为45.6万元.
21.(本小题满分12分)直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+10=0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程.
剖析：本题考查与圆有关的轨迹问题.
解析：解法一：由x2+y2-6x-4y+10=0，y=kx，
消去y，得(1+k2)x2-(6+4k)x+10=0.
设此方程的两根为x1、x2，AB的中点坐标为P(x，y)，则由韦达定理和中点坐标公式，得x=x1+x22=6+4k2(1+k2)=3+2k1+k2. ①
又点P在直线y=kx上，
∴y=kx.
∴k=yx. ②
将②代入①，得x=3+2×yx1+(yx)2(x≠0)，整理得x2+y2-3x-2y=0.
故轨迹是圆x2+y2-3x-2y=0位于已知圆内的部分.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x21+y21-6x1-4y1+10=0，①
x22+y22-6x2-4y2+10=0，②
①-②，得(x21-x22)+(y21-y22)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0.
设AB的中点为(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y.
代入上式，有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0，
即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0.
∴x-3y-2=-y1-y2x1-x2=-k. ③
又∵y=kx， ④
由③④得x2+y2-3x-2y=0.
故所求轨迹为已知圆内的一段弧.
点悟：解法一为参数法，适当引入参数，再消去参数得所求轨迹;解法二为“差分法”，是求中点轨迹的一种常用方法.
22.(本小题满分12分)已知m∈R，直线l：mx-(m2+1)y=4m和圆C：x2+y2-8x+4y+16=0.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧?为什么?
解析：(1)直线l的方程可化为y=mm2+1x-4mm2+1，
直线l的斜率k=mm2+1，
因为|m|≤12(m2+1)，
所以|k|=|m|m2+1≤12，当且仅当|m|=1时等号成立.
所以，斜率k的取值范围是[-12，12].
(2)不能.
由(1)知l的方程为
y=k(x-4)，其中|k|≤12.
圆C的圆心为C(4，-2)，半径r=2.
圆心C到直线l的距离d=21+k2.
由|k|≤12，得d≥45>1，即d>r2.
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于2π3.
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧.