高中数学解析几何中求参数取值范围的方法

时间：2024-01-11 11:35:06 春燕2 高二数学

　　近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，是历年来高考命题的热点和重点。以下是学习啦小编整理了高中数学解析几何中求参数取值范围的方法，希望对你的学习有帮助。

　　几何中求参数取值范围的四大方法：

　　几何中求参数取值范围方法一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

　　曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

　　例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

　　求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

　　解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

　　又∵线段AB的垂直平分线方程为

　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

　　令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

　　又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

　　∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

　　分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.

　　解: 依题意有

　　∴tanθ=2S

∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

∴π4 <θ

　　例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )

A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2

　　分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

　　解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

　　得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

　　∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

　　又∵ y02≥0

　　而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )

　　几何中求参数取值范围方法二、利用判别式构造不等式

　　在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

　　例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )

　　A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

　　分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0

　　解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)

　　由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

　　∵直线L与抛物线有公共点

　　∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)

　　例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.

　　分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

　　解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

　　∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

解得 -2<-2

　　几何中求参数取值范围方法三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

　　例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.

　　分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

　　解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

　　当A、B同时在椭圆内，则

　　解得a >17

　　当A、B同时在椭圆外，则

解得0<6

综上所述，解得0<6 或a>17

　　例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.

　　分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.

　　解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，

∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

　　又∵m≠0

∴-3 <0或0<3

　　几何中求参数取值范围方法四、利用三角函数的有界性构造不等式

　　曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

　　例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,

　　求实数a的取值范围.

　　分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

　　解：设椭圆的参数方程为 (θ为参数)

　　代入x2=2y 得

　　4cos2θ= 2(a+sinθ)

　　∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

　　又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

　　例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

　　分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.

　　解：∵点P在圆上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)

　　∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1

　　∴m+n最小值为1-2 ，

　　∴-(m+n)最大值为2 -1

　　又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立

　　∴c≥2 -1

　　五、利用离心率构造不等式

　　我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

　　例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.

　　解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32

　　设椭圆中心为(m,0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c

　　两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵0<1，∴0<1,解得m>2，

　　又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，

　　∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,

∴- 3k >2，解得-32 <0