高考数列解题技巧
数列问题
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
知识整合
1. 在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;
2. 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3. 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。
数列解题方法剖析
一、基础知识
数列：
1.数列、项的概念：按一定排列的一列数，叫做的项
2.数列的表示：一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，(…)an是
该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法(通项公式、递推公式、求和公式)都是表示数列的方法. 3.数列的一般性质 .
4.数列的分类：
①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ;
②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他; ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他;
④按项的变化范围分：有界数列、无界数列.
5.数列的通项公式：{an}
6.数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项
an-1(或前几项an-1，an-2，…?1)(n=2，3，…) (或 ?1n?2)(n=3，4，5，…)，…)来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 .
7.数列的前：Sn
8.通项公式与求和公式的关系：
通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：an???S1(n?1)
?Sn?Sn?1(n?2)
1
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2
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数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错位相减法：适用于差比数列(如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比
数列)
即把每一项都乘以?bn?的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，
转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
??1?? 适用于数列?和(其中?an?等差) ??an?
an?1?
11111?(?)?
an?an?1danan?1d
数列通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ⑵已知Sn(即a1?a2?
S,(n?1)
?an?f(n))求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。
nn?1
?
f(1),(n?1)??f(n)
已知a1a2。 an?f(n)求an，用作商法：an??
,(n?2)
??f(n?1)
⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an;有时也可直接求an。
⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?
?(a2?a1)
?a1(n?2)。
aaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?
anan?1an?2
?
a2
?a1(n?2)。 a1
⑹已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列)。
特别地，(1)形如an?kan?1?b、an?kan?1?b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an;形如an?kan?1?k的递推数列都可以除以k得到一个等差数列后，再求an。
(2)形如an?
n
n
n
an?1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
kan?1?b
3
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(3)形如an?1?ank的递推数列都可以用对数法求通项。
(7)(理科)数学归纳法。
(8)当遇到an?1?an?1?d或an?1?q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an?1
形式。
数列求和的常用方法：
(1)公式法：①等差数列求和公式;②等比数列求和公式。
(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).
(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ??; ②?(?);
1? ; d
11111?(?)(放缩法)④2?2;
kk?12k?1k?1
???(放缩法)⑤?; ①
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
2、由Sn求an
(n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1)
3、求差(商)法
111a1?2a2????nan?2n?5222
1 解：n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14 2
111 n?2时，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?5222
1 ?1???2?得：nan?2 2 如：?an?满足
∴an?2
n?1?1? ?2? 4
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∴an??
[练习] ?14(n?1)?2n?1(n?2)
数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3
(注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1?4 Sn
又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4n
n?2时，an?Sn?Sn?1????3?4n?1
4、叠乘法，题型：an+1=f(n)an
例如：数列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?1
解：a2aaa12n?11?3??n????，∴n? a1a2an?123na1n
3 n 又a1?3，∴an?
5、等差型递推公式(叠加法)，类型：an+1=an+f(n)
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加，得： ?????
an?an?1?f(n)??
an?a1?f(2)?f(3)????f(n)
∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)
[练习]
数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an (an?1n3?1) 2??
6、等比型递推公式
an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0 ?? 5
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可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?
?an?can?1??c?1?x
令(c?1)x?d，∴x?
∴?an?d c?1?
?d?d，c为公比的等比数列 ?是首项为a1?c?1?c?1
∴an?dd??n?1??a1??c c?1?c?1?
?
?d?n?1d ?c?c?1?c?1 ∴an??a1?
[练习]
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an
?4? (an?8????3?
7、倒数法 n?1?1)
例如：a1?1，an?1?2an，求an an?2
由已知得：1
an?1?an?211 ??2an2an
∴1
an?1?11? an2
???1?11 为等差数列，?1，公差为?aa21?n?
111?1??n?1????n?1? an22
2
n?1 ? ∴an?
数列前n项和的常用方法：
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 6
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如：?an?是公差为d的等差数列，求1 ?k?1akak?1n
解：由
n111?11???????d?0? ak?ak?1akak?dd?akak?1?n11?11? ∴?????? aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?
?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3??anan?1??
1?11?????d?a1an?1?
[练习]
求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n
1) n?1 (an??????，Sn?2?
3、错位相减法：
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?(差比数列)前n项 和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
如：Sn?1?2x?3x?4x????nx23n?1?1?
?2? x?Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn
?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1时，Sn1?x?nx???nn
?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?
练习：(选自年高考预测卷) n?n?1?2
?a?a?1,a2?a3?6. 18.(本小题满分12分)各项均为正数的等比数列n中，1
(Ⅰ)求数列?an?通项公式;
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