2015-2016年高一数学上期末考试题
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2015-2016年高一数学上期末考试题
一.选择题:(本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中,点 关于 轴的对称点坐标为( )
A. B. C. D.
3. 若 是两条不同的直线, 是三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若 ,则 B.若 , ,则
C.若 , ,则 D.若 , ,则
4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A. B.
C. D.
5.直线 与圆 的位置关系为( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
6.已知圆 : + =1,圆 与圆 关于直线 对称,则圆 的方程为( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
7.若函数 的图象经过二、三、四象限,一定有( )
A. B.
C. D.
8.直线 与圆 交于E、F两点,则 EOF(O为原点)的面积( )
9.正四棱台的上、下两底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面积之和,则四棱台的高为( )
A. B. C.3 D.2
10.设函数的定义域为R,它的图像关于x=1对称,且当x≥1时, 则有 ( )
A. B.
C . D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,满分25分)
11.函数 的定义域是 .
12.已知函数 若 ,则 .
.w.w.k.s.
13.若函数 是奇函数,则m的值为________.
14.一个正方体的所以顶点都在一个球面上,已知这个球的表面积为 ,则正方体的边长为_______.
15. 设函数 ,给出下述命题:
①.f(x)有最小值;②.当a=0时,f(x)的值域为R;③.f(x)有可能是偶函数;④.若f(x)在区间[2,+ )上单调递增,则实数a的取值范围是[-4,+ );
其中正确命题的序号为___________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、推理过程或演算过程。
16.(本小题满分12分)求经过直线L1:3x + 4y – 5 = 0与直线L2:2x – 3y + 8 = 0的交点M,且满足下列条件的直线方程
(1)与直线2x + y + 5 = 0平行 ;
(2)与直线2x + y + 5 = 0垂直;
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2 ax+1-a,( a∈R)
(1)若函数f(x)在(-∞,+∞)上至少有一个零点,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[0,1]上的最小值为-2,求a的值.
18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明: PA//平面EDB;
(2)求
19.(本小题满分12分)已知圆 ,直线 .
(1)求证:直线 恒过定点;
(2)判断直线 被圆 截得的弦何时最短?并求截得的弦长最短时 的值以及最短弦长.
20.(本小题满分13分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小.
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
21.( 本小题满分14分)设 ,且 .
(1)求 的解析式;
(2)判断 在 上的单调性并用定义证明;
(3) 设 ,求集合 .
2015-2016年高一数学上期末考试题参考答案
一、选择题
1—5 DACAB; 6—10 BACDB
二、填空题
11、 ;12、 ; 13、2;14、1 ; 15、②③
16.解: 解得 --------4分
所以交点(-1,2)
(1) -----3分
直线方程为 --------8分
(2) ---------6分
直线方程为 --------12分
17.(1)因为函数y=f(x)在R上至少有一个零点,所以方程x2+2ax+1-a=0至少有一个实数根,所以Δ=2a×2a-4(1-a)≥0,得
(2)函数f(x)=x2+2ax+1-a,对称轴方程为x=-a.
(1)当-a<0即a>0时,f(x)min=f(0)=1-a,
∴1-a=-2,∴a=3……….6分
(2)当0≤-a≤1即-1≤a≤0时,f(x)min=f(-a)=-a2-a+1,
∴-a2-a+1=-2,∴a= (舍)……..8分
(3)当-a>1即a<-1时, f(x)min=f(1)=2+a,
∴2+a=-2 , ∴a=-4……….10分
综上可知,a=-4或a=3. ..................................12分
18.解:(1)证明:连结AC,AC交BD于O.连结EO.∵ 底面ABCD是正方形,∴ 点O是AC的中点.在△PAC中,EO是中位线,∴ PA//EO.而 平面EDB,且 平面EDB,所以,PA//平面EDB.……6分
(2) = ……12分
19.(1)证明:直线 的方程可化为 . ……2分
联立 解得
所以直线 恒过定点 . ……4分
(2)当直线 与 垂直时,直线 被圆 截得的弦何时最短. ……6分
设此时直线与圆交与 两点.
直线 的斜率 , .
由 解得 . ……8分
此时直线 的方程为 .
圆心 到 的距离 . ……10分
.
所以最短弦长 . …………12分
20.解:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD…………4分
(2)设正方形边长a,则 .
又 ,所以∠SDO=60°.
连OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角.
由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,
即二面角P-AC-D的大小为30°…………..8分
(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.
由(2)可得 ,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连BN,在△BDN中知BN∥PO.
又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1…………13分
21.解:(1)∵ ,且
∴ ,
∵ ,∴
(2) 上单调递减,证明如下:
设
∵ ∴ ∴
∴ ,∴
∴ ∴ 上单调递减…………9分
(3)方程为 ,令 ,则
方程 在 内有两个不同的解
由图知 时,方程有两个不同解
∴ …………14分