八年级数学课题学习教案2篇

　　教案是教师对课程实施的设想、方案,以下是学习啦小编要与大家分享的：八年级数学课题学习教案，供大家参考!

　　八年级数学课题学习教案一

　　【教学目标】

　　教学知识点

　　能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.

　　能力训练要求

　　在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

　　情感与价值观要求

　　通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.

　　【教学重难点】

　　重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.

　　难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

　　突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.

　　【教学过程】

　　一、创设情景 引入课题

　　师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“饮马问题”.

　　(板书)课题

　　学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.

　　二、自主探究 合作交流 建构新知

　　追问1:观察思考,抽象为数学问题

　　这是一个实际问题,你打算首先做什么?

　　活动1:思考画图、得出数学问题

　　将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.

　　追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

　　师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).

　　强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

　　活动2:尝试解决数学问题

　　问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?

　　追问1　你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

　　问题2　如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?

　　师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充

　　如果学生有困难,教师可作如下提示

　　作法:

　　(1)作点B 关于直线l 的对称点B';

　　(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.

　　如图所示:

　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

　　教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.

　　由轴对称的性质知,

　　BC =B'C,BC'=B'C'.

　　∴AC +BC= AC +B'C = AB',

　　AC'+BC'= AC'+B'C'.

　　在△AC'B'中,

　　AC'+B'C'>AB',

　　∴当只有在C点位置时,

　　AC+BC最短.

　　方法提炼:

　　将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

　　问题4

　　练习　如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.

　　基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为?条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.

　　问题5　造桥选址问题

　　如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

　　思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?

　　2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?

　　思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)

　　1.把A平移到岸边.

　　2.把B平移到岸边.

　　3.把桥平移到和A相连.

　　4.把桥平移到和B相连.

　　教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.

　　1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?

　　问题解决:如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N.作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1. 由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 转化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN,如图所示:

　　三、巩固训练

　　(一)基础训练

　　1.最短路径问题

　　(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.

　　如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.

　　(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.

　　如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.

　　2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)

　　如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.

　　八年级数学课题学习教案二

　　一、内容和内容解析

　　1内容

　　利用轴对称研究某些最短路径问题.

　　2内容解析

　　最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.

　　本节课以数学史中的一个经典问题——“饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题.

　　基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

　　二、目标和目标解析

　　1目标

　　能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.

　　2目标解析

　　达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题;能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” 问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.

　　三、教学问题诊断分析

　　最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

　　解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.

　　在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到.

　　教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用.

　　本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

　　四、教学过程设计

　　引言

　　前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用说学知识探究数学史中著名的“饮马问题”.

　　1将实际问题抽象为数学问题

　　问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

　　从图1 中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

　　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“饮马问题”.

　　你能将这个问题抽象为数学问题吗?

　　图1图(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么?

　　师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线(图2).

　　(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗?

　　师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(图3).

　　设计意图：2.尝试解决数学问题

　　问题2 如图3，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小?

　　师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充.

　　如果学生有困难，教师可作如下提示：

　　(1)如图4，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点A与点B的距离和最短?

　　(2)对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等?

　　(3)你能利用轴对称的有关知识，找到(2)中符合条件的点B′吗?

　　对于(1)，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题.即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求;对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充.得出：只要作出点B关于l的对称点B′，就可以满足CB′CB(图5).再利用(1)的方法，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为所求.

　　学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图.

　　作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′;

　　(2)连接AB′，与直线l相交于点C.

　　则点C即为所求.

　　设计意图：通3.证明“最短”

　　问题3：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?

　　师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：

　　证明：如图6，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.

　　由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.

　　∴ AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.

　　在△AB′C′中，AB′

　　∴ AC+BC

　　即AC+BC最短.

　　追问1：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，证明AC+BC

　　师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小.

　　设计意图：追问2: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的?

　　师生活动：学生回答，并相互补充.

　　设计意图：练习

　　如图7，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，请画出旅游船的最短路径.

　　师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图.其基本思路为：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC找到一点R，使PR与QR的和最小”.

　　设计意图：.小结

　　教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

　　(1)本节课研究问题的基本过程是什么?

　　(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?

　　设计意图：

　　5.布置作业