2016湖南卷理科数学复习试题和答案
高考很快就到了啦，你们的数学复习得怎么样呢?以下是学习啦小编为大家推荐有关湖南卷理科的数学复习试题以及参考答案，欢迎大家参阅!
2016湖南卷理科数学复习试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
2、“ ”是“函数 为偶函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3、函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4、已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( )
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
5、若圆 与 ， 轴都有公共点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、已知函数 ，若存在非零实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、已知实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、已知 、 分别是双曲线 ( ， )的左、右焦点，且 是抛物线 ( )的焦点，双曲线 与抛物线 的一个公共点是 .若线段 的中垂线恰好经过焦点 ，则双曲线 的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分.)
9、已知全集为 ，集合 ， ，则 ; ; .
10、若函数 ，则 ; .
11、若函数 ，则 的最小正周期为 ; .
12、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ;表面积为 .
13、在 中， ， ， ， 是边 上的动点(含 ， 两个端点).若 ( ， )，则 的取值范围是 .
14、已知棱长为 的正四面体可以在一个单位正方体(棱长为 )内任意地转动.设 ， 分别是正四面体与正方体的任意一顶点，当 达到最大值时， ， 两点间距离的最小值是 .
15、设 ，集合 ， ，若 ( 为实数集)，则实数 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16、(本小题满分15分)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .已知向量 ， ，且 .
若 ，求边 的值;
求 边上高 的最大值.
17、(本小题满分15分)如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， ， ， .
求证：平面 平面 ;
若点 在棱 上的射影为点 ，求二面角 的余弦值.
18、(本小题满分15分)已知二次函数 ( ， ).
若 ，且不等式 对 恒成立，求函数 的解析式;
若 ，且函数 在 上有两个零点，求 的取值范围.
19、(本小题满分15分)已知椭圆 ( )的右焦点为 ，上顶点为 .
过点 作直线与椭圆 交于另一点 ，若 ，求 外接圆的方程;
若过点 作直线与椭圆 相交于两点 ， ，设 为椭圆 上动点，且满足 ( 为坐标原点).当 时，求 面积 的取值范围.
20、(本小题满分14分)已知数列 的前 项和记为 ，且满足 .
求数列 的通项公式;
设 ，记 ，求证： .
2016湖南卷理科数学复习试题答案
一、 选择题(本大题共有8小题，每小题5分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C D B C A
二、填空题(本大题共7小题，9——12每题6分，13——15题每题4分，共36分.)
9. ; ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. 14. 15.
三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.解：(Ⅰ)方法一：由 ，得 ，--------------------------------2分
即 ,得 ，-----------------------------------------------4分
又 ，所以 ，故 ，即 .--------------6分
结合 ，得
由正弦定理 得, .----------------------------------------------------8分
方法二: 由 ，得 ，----------------------------------------------2分
则 ，又 ，故 ，
即 ，--------------------------------------------------------------------------------------4分
又 ，所以 ，故 ，即 .--------------------------------6分
结合 ，得 .
由正弦定理 得， .-------------------------------------------------------8分
(Ⅱ) 设 边上的高为 ，则 ，----------10分
即 ， ， -----------------14
(等号成立当且仅当 )
所以 ，因此 ，
所以 边上的高 的最大值为 . -----------------------------------------------15分
17.(Ⅰ)证明：因为 平面 ，所以 ， …………………………2分
又因为 ，所以 平面 ， ………………………4分
所以平面 平面 . …………………………5分
(Ⅱ)解法1：先考查二面角 和二面角 ，
因为 面 ，所以 ，又因为 ，
所以 面 ，所以 ， ，
所以 即二面角的 一个平面角， ……………………7分
因为 ， ……………………9分， ……………………11分
所以 ，
所以 ……………………12分
……………………13分
， ……………………14分
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 . ……………………15分
解法2：因为 面 ，所以 ，又因为 ，
所以 面 ，所以 ， ，
所以 即为二面角的 一个平面角. …………………8分
因为 ，所以 ， ， …………………………10分
所以 ， ， …………………12分
又因为直角梯形 可得 ， …………………………13分
所以 ， …………………………………14分
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 . ……………………………15分
解法3：如图所示，以 为 轴，以 为 轴，过 作 轴，建立空间直角坐标系，则可知 ， ， ， ， ，……8分
则 ， .
设平面 的一个法向量是 ，可得：
即 .……………………………………………10分
同理可得 的一个法向量是 ， ……………………………………12分
所以二面角 的余弦值为 . ………………………15分
18.解：(Ⅰ)因为 ，所以 ，---------------------------------------3分
因为当 ，
都有 ，所以有 ， --------------------------6分
即 ，所以 ; --------------------------------------------7分
(Ⅱ)解法1：因为 在 上有两个零点，且 ，
所以有 -------------------------11分
(图正确，答案错误，扣2分)
通过线性规划可得 . ---------------------------------------------15分
(若答案为 ，则扣1分)
解法2：设 的两个零点分别 ，所以 ，--------9分
不妨设 ， ，--------------------------------------------------------------11分
因为 ，且 ， ，----------------13分
所以 ，所以 .-------------------------------------------------15分
(若答案为 ，则扣1分)
19.解：(Ⅰ) 由右焦点为 ，上顶点为 得 ，
所以 .-------------------------------------------------------------------------3分
( 每个1分)
所以椭圆方程为 ，
因为 ，可求得点 ，--------------------------------4分
因为 为直角三角形， 中点坐标 ，且 ，
所以 外接圆方程为 .--------------------6分
(Ⅱ)设过点 的直线方程为 ， --------------------------------------------7分
两点的坐标分别为 ， ，
联立方程 得 ， ，
因为 ， ，-------------------------------------------------9分
所以
，------------11分
因为 ，所以点 ，
因为点 在椭圆C上，
所以有 ，
化简得 ，
因为 ，所以得
，化简 ，-------13分
因为 ，所以 ，
因为 ，
令 ，所以 ，
令 ，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .--------------------------------------------------------------------------------15分
20.解：(Ⅰ)当 时， ，解得 ，---------------------------------------------1分
当 时， ，
，-----------------------------------------------------------------------2分
两式相减得： ，
即 ， ------------------------------------------------------------------------------------------5分
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，------------------6分
(Ⅱ)证法1：当 为偶数时，
----------------------------7分
，--------------------------------10分 = ;-----------11分
当 是奇数时， .
综上可知 .---------------------------------------------------------------------------------14分
证法2：当 时， ， ， , 不等式显然成立-------8分
当 时,要证明 ，
只要证明 ，
只要证明 . --------9分
又因为当 时， ， 即
故
而
-----------------------------------------------12分
----------------------------------------------------------------------13分
.-------------------------------------------------------------------------------14分