2016年理科数学期末试题
期末将至，大家都复习好了吗?以下是学习啦小编为大家整理关于高中的理科数学期末复习试题和答案，欢迎大家参阅!
2016年理科数学期末试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
(1)函数 的定义域为
(A)[一5，2] (B)(一∞，—5]U[2，+oo)
(C)[一5,+ ∞) (D)[2,+ ∞)
(2)函数 的最小正周期为
(A) 2 (B)
(C) (D)4
(3)"k<9’’是“方程 表示双曲线”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(4)设变量x、y满足 则目标函数z=2x+3y的最小值为
(A)7 (B) 8 (C) 22 (D) 23
(5)在等比数列{an}中，a2a3a7=8,则a4=
(A)1 (B) 4 (C)2 (D)
(6)己知 则
(A)-4 (B-2 (C)-1 (D)-3
(7)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是
(A) (B) (C) (D)
(8)己知 的值域为R，那么a的取值范围是
(A)(一∞，一1] (B)(一l， ) (C)[-1， ) (D)(0， )
(9)执行如图所示的算法，则输出的结果是
(A)1 (B) (C) (D)2
(10)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于
(A) (B) (C)1 (D)
(11)椭圆 的左焦点为F，若F关于直线 的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为
(A) (B) (C) ， (D) 一l
(12)设函数 ，若对于任意x [一1，1]都有 ≥0，则实数a的取值范围为
(A)(- , 2] (B)[0+ ) (C)[0,2] (D)[1,2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.
(13)若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位)，则z= 。
(14)设等差数列{an}的前n项和为Sn， S3 =6，S4=12，则S6= .
(15) 过点A(3,1)的直线 与圆C: 相切于点B，则 .
(16) 在三棱锥P-ABC中，PB=6，AC=3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为 .
三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcos C=3.
(I)求b;
( II)若△ABC的面积为 ，求c.
(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，
PA =AB=AC.
(I)求证：AC⊥CD;
( II)点E在棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离.
(19)(本小题满分12分)
为了调查某校学生体质健康达标情况，现采
用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体
育测试.根据体育测试得到了这m名学生各项平
均成绩(满分100分)，按照以下区间分为七组：
[30,40), [40, 50), [50, 60), [60, 70),[70,
80)，[80，90)，[90，100)，并得到频率分布直方
图(如图)，己知测试平均成绩在区间[30，60)有
20人.
(I)求m的值及中位数n;
(II)若该校学生测试平均成绩小于n，则
学校应适当增加体育活动时间.根据以上抽样调
查数据，该校是否需要增加体育活动时间?
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线y2= 2px(p>0)，过点C(一2，0)的直线 交抛物线于A，B两点，坐标原点为O， .
(I)求抛物线的方程;
( II)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线 的方程.
(21)(本小题满分12分)
己知函数 ，直线 与曲线 切于点 且与
曲线 y=g(x)切于点 .
(I)求a，b的值和直线 的方程.
( II)证明：除切点外，曲线C1,C2位于直线 的两侧。
请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时
用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(22)(本小题满分1 0分)选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形么BDC内接于圆，BD= CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点.
(I)求证：∠EAC=2∠DCE;
( II)若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长.
(23)(本小题满分10)选修4—4;坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为 ，斜率为 的直线 交y轴于点E(0,1).
(I)求C的直角坐标方程， 的参数方程;
( II)直线 与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB |。
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数 的最小值为a.
(I)求a;
( II)已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求 的最小值.
2016年理科数学期末试题答案
一、 选择题：
A卷：DABAC ABCAB DC
B卷：DAADC BBCDA CC
二、填空题：
(13)-1+i (14)30 (15)5 (16)8
三、解答题：
(17)解：
(Ⅰ)由正弦定理得sinCsinB=sinBcosC，
又sinB≠0，所以sinC=cosC，C=45°.
因为bcosC=3，所以b=32. …6分
(Ⅱ)因为S=12acsinB=212，csinB=3，所以a=7.
据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=25，所以c=5. …12分
(18)解：
(Ⅰ)证明：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD=90，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC. …4分
(Ⅱ)因为PA=AB=AC=2，E为PC的中点，所以AE⊥PC，AE=2.
由(Ⅰ)知AE⊥CD，所以AE⊥平面PCD.
作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平面EAD.
因为BC∥AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，
CF即为点C到平面EAD的距离. …8分
在Rt△ECD中，CF=CE×CDDE=2×26=233.
所以，点B到平面EAD的距离为233. …12分
(19)解：
(Ⅰ)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02，0.02和0.06，
则m×(0.02+0.02+0.06)=20，解得m=200.
由直方图可知，中位数n位于[70，80)，则
0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5，解得n=74.5. …4分
(Ⅱ)设第i组的频率和频数分别为pi和xi，由图知，
p1=0.02，p2=0.02，p3=0.06，p4=0.22，p5=0.40，p6=0.18，p7=0.10，
则由xi=200×pi，可得
x1=4，x2=4，x3=12，x4=44，x5=80，x6=36，x7=20， …8分
故该校学生测试平均成绩是
—x=35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7200=74<74.5， …11分
所以学校应该适当增加体育活动时间. …12分
(20)解： (Ⅰ)设l：x=my-2，代入y2=2px，得y2-2pmy+4p=0.()
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则x1x2=y21y224p2=4.
因为OA→•OB→=12，所以x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，
得p=2，抛物线的方程为y2=4x. …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)()化为y2-4my+8=0.
y1+y2=4m，y1y2=8. …6分
设AB的中点为M，则|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4， ①
又|AB|=1+m2| y1-y2|=(1+m2)(16m2-32)， ②
由①②得(1+m2)(16m2-32) =(4m2-4)2，
解得m2=3，m=±3.
所以，直线l的方程为x+3y+2=0，或x-3y+2=0. …12分
(21)解：
(Ⅰ)f(x)=aex+2x，g(x)=cosx+b，
f(0)=a，f(0)=a，g( 2)=1+ 2b，g( 2)=b，
曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线为y=ax+a，
曲线y=g(x)在点( 2，g( 2))处的切线为
y=b(x- 2)+1+ 2b，即y=bx+1.
依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1. …4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=ex+x2，g(x)=sinx+x. …5分
设F(x)=f(x)-(x+1)=ex+x2-x-1，则F(x)=ex+2x-1，
当x∈(-∞，0)时，F(x)
当x∈(0，+∞)时，F(x)>F(0)=0.
F(x)在(-∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增，
故F(x)≥F(0)=0. …8分
设G(x)=x+1-g(x)=1-sinx，则G(x)≥0，
当且仅当x=2k+ 2(k∈Z)时等号成立. …10分
综上可知，f(x)≥x+1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)>g(x).
所以：除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧. …12分
(22)解：
(Ⅰ)证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD.
因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD.
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD.
因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD. …5分
(Ⅱ)解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB.
因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC.
由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•( AE-AB)，即
AB2+2 AB-4=0，解得AB=5-1. …10分
(23)解：
(Ⅰ)由ρ=2(cosθ+sinθ)，得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ)，
即x2+y2=2x+2y，即(x-1) 2+(y-1) 2=2.
l的参数方程为x= 1 2t，y=1+32t.(t为参数, t∈R) …5分
(Ⅱ)将x= 1 2t，y=1+32t.代入(x-1) 2+(y-1) 2=2得t2-t-1=0，
解得，t1=1+52，t2=1-52，则
|EA|+|EB|=| t1|+| t2|=|t1-t2|=5. …10分
(24)解：
(Ⅰ)f(x)=- 3 2x-1 ，x<-2，- 1 2x+1，-2≤x≤0， 3 2x+1，x>0.
当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，
当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，
所以当x=0时，f(x)的最小值a=1. …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤ 1 2，
则 1 m+ 1 n≥21mn≥22，当且仅当m=n=22时取等号.
所以 1 m+ 1 n的最小值为22. …10分