直线的倾斜角和斜率教学设计

　　《直线的倾斜角和斜率》教学设计

　　三、教学目标

　　1.知识与技能：使学生理解倾斜角与斜率的概念，了解二者之间的关系，会求过已知两点的直线的斜率;

　　2.过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培养学生转化的思想，提高解决问题的能力;

　　3.情感、态度与价值观：在探索倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学态度.

　　四、教学重点与难点

　　重点：倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式;

　　难点：斜率;

　　对难点的处理：先从简单的过原点的直线入手，再分倾斜角为锐角、钝角的情况去分析.

　　五、教学策略

　　对于“倾斜角与斜率”的教学，教师创设问题情境，学生在问题的激励下主动探究，教学方法采用师生互动式;而“过两点的直线的斜率公式”的教学则采用“学生探索、教师适时讲解”的方法.

　　六、教学过程

　　(一)新知的引入：

　　在平面直角坐标系内，画出几条不同直线，诱导学生思考，有何不同?

　　从而进一步设计决定直线的位置有哪些条件呢?

　　(设计意图：学生在教师“问题串”的引导下去思考，得出本章重要知识点)

　　(二)概念的讲解：通过讨论我们已经知道，决定直线的位置的条件是一个点与方向.那么如何刻划直线的方向呢?学生肯定会想到角，也会想到用纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值.这时就需要教师的适时点播—引出刻划直线的方向的两个量---直线的倾斜角和斜率.

　　一、直线的倾斜角与斜率

　　1. 倾斜角(

　　(1)倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角;注：强调当直线与坐标轴轴平行时的倾斜角。

　　提问：倾斜角的范围是什么?(让学生自己去解决)

　　(2)倾斜角的范围：.

　　日常生活中，我们用坡度来刻划道路的“倾斜程度”，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比;为了用坐标的方法刻划直线的倾斜角，引入直线的斜率概念(也可以从一次函数的解析式引入，其中的K就是斜率.)

　　2.斜率让学生任画一条直线，类比坡度的方法，用坐标的方法刻划“直线的坡度”-斜率;

　　(强调若直线倾斜角相等，则斜率也相等)

　　教师定义:当横坐标从增加到时，纵坐标从增加到称为直线的斜率;

　　提问：由此定义，你能发现斜率的其他形式的定义吗?

　　再问：若倾斜角为锐角，求斜率的取值范围;若倾斜角在锐角内变化，斜率如何变化?

　　(三)例题的讲解(7分钟)

　　例1：求下列直线的斜率：

　　(1) y=x (2)y=1 (3)x=0.

　　(四)课堂练习

　　(五)本节课小结

　　八、设计反思

　　在平面解析几何《直线与方程》的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿《直线与方程》一章教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

　　《直线的倾斜角和斜率》说课稿

　　我说的课是高中第二册(上)第七章直线和圆的方程第一大节直线的倾斜角和斜率的第一节课。

　　一、关于教学目标的确定

　　1、 教材的地位及作用

　　直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识，直线的方程是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用，介绍了简单的线性规划问题。故本节课是学好这一章内容的关键。

　　2、 教学目的的认识

　　依据教学大纲的目的和要求规定及新课程标准要求，并结合学生的认知基础，我认为本节课的教学目标：

　　(1)知识目标：了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念;理解直线的倾斜角和斜率的定义;掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率。

　　(2)能力目标：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

　　(3)情感目标：帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

　　二、重点、难点分析

　　1、本节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，及斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

　　2、本节的难点是对“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切这两个问题却并不容易接受。

　　三、教法、学法指导

　　1、学法辅导：

　　(1)学情介绍：

　　本课的教学对象是高二年学生，考虑到我校学生的数学基础较好，思维较为活跃，并针对本节课的教学任务，在教学中我通过创设问题情境。

　　(2)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义?为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立?相应的教学过程也有三个阶段：

　　①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢?学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。

　　②本节的难点是对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样。学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗?再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率?要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义。

　　(3)学生在学习过程中，要学会展开思维，教师的启发、激励，有利于思维的进行;问题情景的创设有利于思维的活跃。但教学是双边的活动，教师要注意观察学生是否动起来，予以情绪调控，使学生有意识地开动脑筋，主动投入。

　　2、教法方法：

　　斯托利亚尔指出“数学教学是教学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学”。本节内容在教学中宜采用启发式，设计为启发、引导、探究、归纳、总结的教学模式。倾斜角如何定义?为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立?这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的。在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结。把教学内容以问题的形式呈现给学生，以便引起学生进行反思，从而形成必要的认知冲突，最终达到建构新的认知结构。

　　四、教学手段

　　本节课，除使用常规的教学手段外，我还使用多媒体课件辅助教学。把教学设计的步骤及内容制成课件，利于突破重点、难点，还能节省时间，扩大教学内容，加快教学节奏，体现教改的新理念。

　　五、关于教学程序的设计

　　(一)知识导入阶段

　　利用多媒体展示ssbezier变形曲线及笛卡儿简介，目的是让学生了解数学的发展史，及坐标法对数学发展起了巨大作用。

　　(二)知识探索阶段

　　(创设问题情景，展现概念形成过程)

　　1、直线的方程与方程的直线的定义

　　【问题1】有了“一次函数的图象”，为什么还要讲“方程的直线”?

　　一次函数的图象是一条直线，它能表示平面上的所有的直线?不能，因为一次函数的图象，与坐标平面上的直线的对应，是一种不完美的对应。坐标平面上，有些直线不能用一次函数表示。(如x=2)那么该怎样修补?

　　(方程的解 坐标 直线的点，直线 方程)

　　定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。

　　2、直线倾斜角定义

　　【问题2】如何确定一条直线?

　　两点确定一条直线.还有其他方法吗?或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件?

　　学生：思考，回忆，回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度。

　　(动画演示)展示直线的倾斜度的变化情况。

　　【问题3】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?

　　讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的。

　　学生：展开讨论，学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导。

　　通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角)，当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念。

　　定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线 的倾斜角。

　　特别地，当 与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°。

　　由此定义，角的范围如何? 0°≤α<180°或0≤α<π

　　(教师强调三点：(1)直线的方向向上(2) 轴的正方向，(3)最小正角)

　　3、 直线斜率的定义

　　用倾斜角刻画直线的方向，乃是几何问题，如何把直线方向量化?

　　【问题4】为什么要用倾斜角的正切定义斜率?而不用正弦、余弦或余切哪?

　　可联想到工程问题中的“坡度”，及三角函数的定义。

　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作 ，即 。

　　(动画演示揭示直线倾斜角与斜率的对应关系)强调 定义域与值域的对应关系，及函数的单调性。

　　4、 直线过两点斜率公式的推导

　　【问题5】如果给定直线的倾斜角 ，我们当然可以根据斜率的定义 =tanα求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢?

　　即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率。

　　思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导，运用正切定义，解决问题。

　　; x1= x2?

　　说明：(1)公式适用范围：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴。因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。

　　(2)公式与P1 和P2的顺序无关，但要注意下标的对应关系。

　　(三)知识应用阶段

　　我设计了二道例题例1是道斜率与倾斜角概念的辨析题，而例2是课本的例题已知直线的倾斜角求斜率，还设计两道变式题，目的是培养学生的发散思维能力，讨论倾斜角变化：锐角—钝角—抽象角，对斜率的影响，加深同学对斜率与倾斜角对应关系的理解。

　　例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： (1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 ( ) (2)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大; ( ) (3)平行于x轴的直线的倾斜角是 ; ( ) (4)两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等; ( ) (5)直线斜率的范围是(-∞，+∞) ; ( ) (6)直线的斜率为tan ,则直线的倾斜角为 ; ( ) 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°;②直线倾斜角的取值范围是[ ;③倾斜角是90°的直线没有斜率.。④坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 例2： 如图，直线 的倾斜角 =30°，直线 ⊥ ，求 、 的斜率。 分析：对于直线 的斜率，可通过计算 直接获得，而直线 的斜率则需要先求出倾斜角 ，而根据平面几何知识， ，然后再求 即可。

　　解： 的斜率 =tan=tan30°= ，

　　∵ 的倾斜角 =90°+30°=120°，

　　∴ 的斜率 =tan120°=tan(180°-60°)

　　=-tan60°= 。

　　评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定。

　　【变式1】直线 的倾斜角 =150°，直线 ⊥ ，求 的斜率。

　　【变式2】已知直线 的倾斜角 ，直线 ⊥ ，求 的斜率及倾斜角。

　　(四)在学习小结阶段：带领学生对所学的知识和方法进行梳理，本节须掌握三个概念：直线方程、倾斜角和斜率;两个关系：直线的方程与方程的直线、斜率与倾斜角;两个问题：求倾斜角问题，求斜率问题。

　　(五)知识延伸拓展阶段：

　　在知识延伸拓展阶段，编制了三道思考题，在于拓宽学生的视野，斜率是联结数与形的纽带。体现了分层教学的思想，达到因材施教的目的。

　　看了“直线的倾斜角和斜率教学设计”