变量间的相关关系教学设计

　　《变量间的相关关系》教学设计

　　3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。会求回归方程，相关系数。

　　[教学 实 践情况]：

　　一、 问题引出：请同学们如实填写下表(在空格中打“√” )

　　然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响?”②“ 如果你的数学成绩好，那么你 的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。”对你来说，是这样吗?同意这种说法的同学请举手。

　　根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。(似乎就是数学好的，物理也好; 数学差的，物理也差，但又不全对。)教师总结如下：

　　物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示(幻灯片给出)：

　　因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩 进行合理估计有非常重要的现实意义。

　　二、 引出相关关系的概念

　　教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有?”

　　学生甲：粮食产量与施肥用量的关系;

　　学生乙：人的体重与食肉数量的关系。

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　　从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系)，或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系;当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。

　　三、探究线性相关关系和其他相关关系

　　问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

　　人体的脂肪百分比和年龄

　　针对于上述数据所提供的信息，你认为人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?教师特别向学生 强调在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手(向学生介绍什么是散点图)。并且引导学生从散点图上可以得出如下规律：

　　1、如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么变量之间具有函数关系(确定性关系);

　　2、如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，那么变量之间具有相关关系(不确定性关系);

　　3、如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系(不确定性关系)。

　　引导学生观察作出的散点图，体会现实生活中两个变量之间的关系存在着不确定性。散点图中的散点并不在一条直线上，只是分布在一条直线的周围，即为线性相关关系。

　　注：“回归”这个词是有英国著名的统计学家 Francils Galton 提出来的。1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们的父母平均身高高;身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们的父母平均身高高。Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”。后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为“回归方法”。

　　那么如何求回归直线方程呢?人们在思考这个问题的时候，常用以下3种方法：

　　1、采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。

　　2、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。

　　3、在散点图中多取几个点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。

　　上面的这些方法虽然有一定的道理，但总让人感觉到可靠性不强。统计学中，科学家们经过研究后于是得出了如下方法：求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离和最小”。现在，我们来看一下数学家解决这个问题的思维过程吧。

　　设已经得到具有线性相关关系的一组数据： ，所要求的回归直线方程为： ，其中， 是待定的系数。当变量 取 时，可以得到 。求 的最小值，其步骤为：

　　四、相关系数及其含义

　　从图象和回归方程可知：人的脂肪含量与人的年龄是正相关关系，那么人的年龄多大程度上决定人体的脂肪含量?这就是相关强弱的问题。如何解决这一问题，统计学家们引进相关系数这一概念，用相关系数 来衡量两个变量之间的线性关系的强弱。若相应于变量 的取值 ，变量 的观测值为 ，

　　则两个变量的相关系数的计算公式为：

　　相关关系的强弱给出具体的判断标准：首先 的符号决定正、负相关关系;当 时，相关关系很强;当 时，相关关系一般;此外，相关关系很弱或者几乎不能用线性相关来描述。通过计算，我们得到探究问题中的 ，所以我们说人的脂肪含量与人的年龄正相关关系很强。

　　最后，我们得到问题的主要结论：

　　1、 人体的脂肪与年龄之间是线性相关关系，而且正相关关系很强( )。

　　2、这种相关关系可以用回归方程： 来刻画。

　　3、人在62、63、64岁时，人体的脂肪含量百分比大约为：35.26、35.84、36.42。

　　六、求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCEL 可以方便地做到。仍以上题的数据为例。于 EXCEL表 中的空白区，选用"插入"菜单命令中的"图表"，选中 XY散 点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地 操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改。适当修饰 图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图 美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数。图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程。

　　图1散点图

　　鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选 " 添加趋势线" ，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格 式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示公式和显示R 平方值，确定后即在 图中显示回归方程和相关系数。

　　小结：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

　　《变量间的相关关系》知识点总结

　　一、变量间的相关关系

　　1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.

　　2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.

　　二、两个变量的线性相关

　　1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.

　　当r>0时，表明两个变量正相关;

　　当r<0时，表明两个变量负相关.

　　r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

　　三、解题方法

　　1.相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断.

　　2.对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性.

　　3.由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强.

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