智力数学趣味题及答案集锦(2)

　　解1：找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作“苹果”，把月份当作“抽屉”，那么问题就变成：13个苹果放12个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理1”】

　　例2：某班参加一次数学竞赛，试卷满分是30分。为保证有2人的得分一样，该班至少得有几人参赛?( )

　　A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

　　解2：毫无疑问，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：总人数放进去之后，保证有1个“抽屉”里，有2人。仔细分析题目，“抽屉”当然是得分，满分是30分，则一个人可能的得分有31种情况(从0分到30分)，所以“苹果”数应该是31+1=32。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理2”】

　　例3. 在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗?

　　解3：因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看作400个苹果，366天看作是366个抽屉，(若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉)由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2(400÷366=1……1，1+1=2)个苹果”。即：一定能找到2个学生，他们是同年同月同日出生的。

　　例4：有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，(1)你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的?为什么?(2)至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么?

　　解4：把3种颜色的筷子当作3个抽屉。则：

　　(1)根据“抽屉原理1”，至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子;(2)从最特殊的情况想起，假定3种颜色的筷子各拿了3根，也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×3+1=10(根)筷子，就能保证有4根筷子同色。

　　例5. 证明在任意的37人中，至少有4人的属相相同。

　　解5：将37人看作37个苹果，12个属相看作是12个抽屉，由“抽屉原理2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”。即在任意的37人中，至少有4(37÷12=3……1，3+1=4)人属相相同。

　　例6：某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书?

　　分析：从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。

　　解6：将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：要保证有一个抽屉中至少有2个苹果，苹果数应至少为40+1=41(个)。即：小书架上至少要有41本书。

　　下面我们来看两道国考真题：

　　例7：(国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题)：

　　有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色

　　相同，应至少摸出几粒?( )

　　A.3 B.4 C.5 D.6

　　解7：把珠子当成“苹果”，一共有10个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”，为保证

　　摸出的珠子有2颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里，摸了4

　　个颜色不同的珠子之后，所有“抽屉”里都各有一个，这时候再任意摸1个，则一定有

　　一个“抽屉”有2颗，也就是有2颗珠子颜色一样。答案选C。

　　例8：(国家公务员考试2007年第49题的扑克牌问题)：

　　从一副完整的扑克牌中，至少抽出( )张牌，才能保证至少6张牌的花色相同?

　　A.21 B.22 C.23 D.24

　　解8：完整的扑克牌有54张，看成54个“苹果”，抽屉就是6个(黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王)，为保证有6张花色一样，我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张，后两个“抽屉”里各放了1张，这时候再任意抽取1张牌，那么前4个“抽屉”里必然有1个“抽屉”里有6张花色一样。答案选C。

　　归纳小结：解抽屉问题，最关键的是要找到谁为“苹果”，谁为“抽屉”，再结合两个原理进行相应分析。可以看出来，并不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显，有时候“抽屉”需要我们构造，这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等等变化的量，但是整体的出题模式不会超出这个范围。

　　八.“牛吃草”问题

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

　　下面来看几道典型试题：

　　例1.

　　由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天?( )

　　A.12 B.10 C.8 D.6

　　【答案】C。

　　解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天减少(20×5-16×6)÷(6-5)=4份草，原来牧场上有20×5+5×4=120份草，故可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。

　　例2.

　　有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完;21头牛8天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛?( )

　　A.8 B.10 C.12 D.14

　　【答案】C。

　　解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天生长出(21×8-24×6)÷(8-6)=12份，如果放牧12头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧12头牛。

　　例3.

　　有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完?( )

　　A.25 B.30 C.40 D.45

　　【答案】D。

　　解析：出水口每小时漏水为(8×15-5×20)÷(20-15)=4份水，原来有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小时漏完。

　　练习：

　　1.一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每头牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片草，几天可以吃完?( )

　　A.10 B.8 C.6 D.4

　　2.两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20秒内男孩走27级，女孩走了24级，按此速度男孩2分钟到达另一端，而女孩需要3分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级可以看见?( )

　　A.54 B.48 C.42 D.36

　　3.22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽?( )

　　A.50 B.46 C.38 D.35

　　九.利润问题

　　利润就是挣的钱。利润占成本的百分数就是利润率。商店有时减价出售商品，我们把它称为“打折”，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的80%出售;如果某商品打“八五”折出售，就是按原价的85%出售。利润问题中，还有一种利息和利率的问题，属于百分数应用题。本金是存入银行的钱。利率是银行公布的，是把本金看做单位“1”，按百分之几或千分之几付给储户的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付给储户的钱。本息和是本金与利息的和。

　　这一问题常用的公式有：

　　定价=成本+利润

　　利润=成本×利润率

　　定价=成本×(1+利润率)

　　利润率=利润÷成本

　　利润的百分数=(售价-成本)÷成本×100%

　　售价=定价×折扣的百分数

　　利息=本金×利率×期数

　　本息和=本金×(1+利率×期数)

　　例1 某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元钱。这件商品的成本是多少元?

　　A.80 B.100 C.120 D.150

　　【答案】B。解析：现在的价格为(1+20%)×80%=96%，故成本为4÷(1-96%)=100元。

　　例2 某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元?( )

　　A.100 B.120 C.180 D.200

　　【答案】D。解析：每个减价35元出售可获得利润(45-35)×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45-15=30元，故每个定价为30÷(1-85%)=200元。

　　例3 一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元?( )

　　A.1000 B.1024 C.1056 D.1200

　　【答案】C。解析：设乙店进货价为x元，可列方程20%x-20%×(1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000×(1-12%)×(1+20%)=1056元。

　　练习：

　　1.书店卖书，凡购同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙书的册数是甲书册数的 ，只有甲种书得到了优惠，这时，买甲种书所付总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，已知乙种书每本定价是1.5元，优惠前甲种书每本定价多少元?

　　A.4 B.3 C.2 D.1

　　2.某书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者优惠5%，每次买书500元以上者(含500元)优惠10%。某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元;如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的 ，这位顾客第二次买了多少钱的书?

　　A.115 B.120 C.125 D.130

　　3.商店新进一批洗衣机，按30%的利润定价，售出60%以后，打八折出售，这批洗衣机实际利润的百分数是多少?

　　A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20

　　十.平均数问题

　　这里的平均数是指算术平均数，就是n个数的和被个数n除所得的商，这里的n大于或等于2。通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题，叫做平均数问题。 平均数应用题的基本数量关系是：

　　总数量和÷总份数=平均数

　　平均数×总份数=总数量和

　　总数量和÷平均数=总份数

　　解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。

　　例1： 在前面3场击球游戏中，某人的得分分别为130、143、144。为使4场游戏得分的平均数为145，第四场他应得多少分?( )

　　【答案】C。解析：4场游戏得分平均数为145，则总分为145×4=580，故第四场应的580-130-143-144=163分。

　　例2： 李明家在山上，爷爷家在山下，李明从家出发一每分钟90米的速度走了10分钟到了爷爷家。回来时走了15分钟到家，则李 是多少?( )

　　A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分

　　【答案】A。解析：李明往返的总路程是90×10×2=1800(米)，总时间为10+15=25 均速度为1800÷25=72米/分。

　　例3： 某校有有100个学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分，则男生比女生多多少人?( )

　　A.30 B.32 C.40 D.45

　　【答案】C。解析：总得分为63×100=6300，假设女生也是平均60分，那么100个学生共的6000分，这样就比实得的总分少300分。这是女生平均每人比男生高10分，所以这少的300分是由于每个女生少算了10分造成的，可见女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。

　　练习：

　　1. 5个数的平均数是102。如果把这5个数从小到大排列，那么前3个数的平均数是70，后3个数的和是390。中间的那个数是多少?( ) A.80 B.88 C.90 D.96

　　2. 甲、乙、丙3人平均体重47千克，甲与乙的平均体重比丙的体重少6千克，甲比丙少3

　　千克，则乙的体重为( )千克。 A.46 B.47 C.43 D.42

　　3. 一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了8人，这样每人应付的车

　　费是35元，则租车费是多少元?( ) A.320 B.2240 C.2500 D.320

　　十一.方阵问题

　　学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

　　核心公式：

　　1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)

　　2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1

　　3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2

　　4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

　　例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

　　A.256人 B.250人 C.225人 D.196人 (2002年A类真题)

　　解析：正确答案为A。方阵问题的核心是求最外层每边人数。

　　根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

　　方阵最外层每边人数：60÷4+1=16(人) 整个方阵共有学生人数：16×16=256(人)。

　　例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?

　　分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：

　　去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

　　解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

　　原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)÷2=17

　　方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289(人)

　　练习：

　　1. 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是( )：

　　A.1元 B.2元 C.3元 D.4元 (2005年中央真题)

　　2. 某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少? 答案：1.C 2. 500人

　　十二.年龄问题

　　主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。

　　解答年龄问题的一般方法：

　　几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄

　　几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差

　　例1：

　　甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：

　　A.45岁，26岁 B.46岁，25岁 C.47岁，24岁 D.48岁，23岁

　　【答案】B。

　　解析：甲、乙二人的年龄差为(67-4)÷3=21岁，故今年甲为67-21=46岁，乙的年龄为45-21=25岁。

　　例2：

　　爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁;当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁?

　　A.34 B.39 C.40 D.42

　　【答案】C。

　　解析：解法一：用代入法逐项代入验证。解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。

　　例3：

　　1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?

　　A.34岁，12岁 B.32岁，8岁 C.36岁，12岁 D.34岁，10岁

　　【答案】C。

　　解析：抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得

　　3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄

　　3×1998年乙的年龄=2×(1998年乙的年龄+4)

　　1998年乙的年龄=4岁

　　则2000年乙的年龄为10岁。

　　练习：

　　1. 爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，我和哥哥的年龄之和等于那时爸爸的年龄”，那么哥哥今年多少岁?

　　A.18 B.20 C.25 D.28

　　2. 甲、乙两人的年龄和正好是80岁，甲对乙说：“我像你现在这么大时，你的年龄正好是我的年龄的一半。”甲今年多少岁?( )

　　A.32 B.40 C.48 D.45

　　3. 父亲与儿子的年龄和是66岁，父亲的年龄比儿子年龄的3倍少10岁，那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍?( )

　　A.10 B.11 C.12 D.13

　　十三. 比例问题

　　解决好比例问题，关键要从两点入手：第一，“和谁比”;第二，“增加或下降多少”。

　　例1 b比a增加了20%，则b是a的多少? a又是b的多少呢?

　　解析：可根据方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。

　　A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。

　　例2 养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?

　　A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B类真题)

　　解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，选择B。

　　例3 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?

　　A.2900万元 B.3000万元 C.3100万元 D.3300万元(2003年中央A类真题)

　　解析：方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。

　　特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。

　　例4 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?

　　A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A类真题)

　　解析：这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题讲解)的比例问题。

　　根据已知 大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件;

　　大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件;

　　此题可以用另一思路进行解析(多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力)

　　大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件;

　　小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件;

　　所以，答案为C。

　　例5 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%;低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成;高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?

　　A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A类真题)

　　解析：这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。

　　奖金应为 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75

　　所以，答案为B。

　　例6 某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P%纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为

　　A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江苏真题)

　　解析：选用方程法。根据题意列式如下：

　　(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120

　　即 480×P%=120