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中考解题技巧 :几何变换法

时间: 嘉欣2 中考答题技巧

  1.平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置,使图形中分散的条件紧密地结合到一起。

  一般有2种方法:

  (1)平移已知条件

  (2)平移所求问题,把所求问题转化,其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。

  例 :在三角形ABC中,BD=CE,求证:AB+AC大于AD+AE。这是典型的平移条件问题。

  解:我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。这里用了BD=EC的条件。设AB与FD交于P

  这样,容易构造两个全等的三角形 AEC,FBD 由于

  PA+PD大于 AD

  PF+PB大于 BF

  两式相加 PA+PB+PD+PF大于AD+BF

  又因为BF= AE,AC= FD

  所以AB+AC大于AD+AE

  2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角,使分散的条件集中在一起.

  例:如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90,M,N为斜边BC上两点且∠MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2

  解:要证BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。考虑到△ABC是等腰三角形,且是直角三角形,将△ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到△ACD,则△NCD为直角三角形

  只需证明MN=ND即可

  因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45 ,即∠NAD=45

  又因为AM=AD

  所以△AND≌△AMN

  所以MN=ND,在直角△NDC中,有ND^2=NC^2+DC^2,所以BM^2+CN^2=MN^2

  3.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图,把图形中的图形对称到另一个位置上,使分散的条件集中在一起。

  当出现以下两种情况时,经常考虑用此变换:1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。

  例△ABC中,∠BAC=90, △ACD为等边三角形,已知∠DBC=2∠DBA,

  求∠DBA。

  解:由对称可知,△BAE全等于△BAD ,DE⊥AB,

  所以BE=BD,AE=AD, ∠ABE=∠ABD

  因为∠DBC=2∠DBA 所以∠DBC=∠DBE

  在BC上取点F,使BF=BE

  又因为∠BAC=90° ,DE⊥AB

  所以DE∥BC ,∠ADE=∠DAC=60°

  所以ADE是等边三角形

  DE=AD=DC

  因为EF关于BD对称

  所以DF=DE=DC ,BF=BE=BD,

  设∠DBA=a 则∠DBF=2a

  因为BF=BD,所以∠BFD=(180°-2a)/2=90°-a

  由于DF=DC ,所以∠DCF=90°-a

  ∠ACB=180°-60°-(90°-a)=30°+a

  因为∠ABC+∠ACB=90°,即 a+2a+30°+a=90° ,a=15°

  所以∠DBA=a=15°

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