2014泉州市中考数学试卷及答案(3)
22.(9分)(2014•泉州)如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
考点: 二次函数的性质;坐标与图形变化-旋转.
分析: (1)由于抛物线过点O(0,0),A(2,0),根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)作A′B⊥x轴与B,先根据旋转的性质得OA′=OA=2,∠A′OA=2,再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB= OA′=1,A′B= OB= ,则A′点的坐标为(1, ),根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y =﹣ (x﹣1)2+ 的顶点.
解答: 解:(1)∵二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)点A′是该函数图象的顶点.理由如下:
如图,作A′B⊥x轴于点B,
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,
∴OA′=OA=2,∠A′OA=2,
在Rt△A′OB中,∠OA′B=30°,
∴OB= OA′=1,
∴A′B= OB= ,
∴A′点的坐标为(1, ),
∴点A′为抛物线y=﹣ (x﹣1)2+ 的顶点.
点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣ , ),对称轴直线x=﹣ ,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a >0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣ 时,y随x的增大而减小;x>﹣ 时,y随x的增大而增大;x=﹣ 时,y取得最小值 ,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣ 时,y随x的增大而增大;x>﹣ 时,y随x的增大而减小;x=﹣ 时,y取得最大值 ,即顶点是抛物线的最高点.也考查了旋转的性质.
23.(9分)(2014•泉州)课外阅读是提高学生素养的重要途径.某校为了了解学生课外阅读情况,随机抽查了50名学生,统计他们平均每天课外阅读时间(t小时).根据t的长短分为A,B,C,D四类,下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表.请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
50名学生平均每天课外阅读时间统计表
类别 时间t(小时) 人数
A t<0.5 10
B 0.5≤t<1 20
C 1≤t<1.5 15
D t≥1.5 a
(1)求表格中的a的值,并在图中补全条形统计图;
(2)该校现有1300名学生,请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时?
考点: 条形统计图;用样本估计总体;统计表
分析: (1)用抽查的学生的总人数减去A,B,C三类的人数即为D类的人数也就是a的值,并补全统计图;
(2)先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例,再乘以1300即可.
解答: 解:(1)50﹣10﹣20﹣15=5(名),
故a的值为5,条形统计图如下:
(2)1300× =520(名),
答:估计该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时.
点评: 本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力,属于基础题.
24.(9分)(2014•泉州)某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B出发,沿轨道到达C处,在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t(分)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2,则d1,d2与t的 函数关系如图,试根据图象解决下列问题:
(1)填空:乙的速度v2= 40 米/分;
(2)写出d1与t的函数关系式;
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?
考点: 一次函数的应用
分析: (1)根据路程与时间的关系,可得答案;
(2)根据甲的速度是乙的速度的1.5倍,可得甲的速度,根据路程与时间的关系,可得a的值,根据待定系数法,可得答案;
(3)根据两车的距离,可得不等式,根据解不等式,可得答案.
解答: 解:(1)乙的速度v2=120÷3=40(米/分),
故答案为:40;
(2)v1=1.5v2=1.5×40=60(米/分),
60÷60=1(分钟),a=1,
d1= ;
(3)d2=40t,
当0≤t≤1时,d2﹣d1>10,
即﹣60t+60﹣40t>10,
解得0 ;
当0 时,两遥控车的信号不会产生相互干扰;
当1≤t≤3时,d1﹣d2>10,
即40t﹣(60t﹣60)>10,
当1≤ 时,两遥控车的信号不会产生相互干扰
综上所述:当0 或1≤t 时,两遥控车的信号不会产生相互干扰.
点评: 本题考查了一次函数的应用,(1)利用了路程速度时间三者的关系,(2)分段函数分别利用待定系数法求解,(3)当0≤t≤1时,d2﹣d1>10;当110,分类讨论是解题关键.
25.(12分)(2014•泉州)如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.
(1)已知:DE∥AC,DF∥BC.
①判断
四边形DECF一定是什么 形状?
②裁剪
当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索:如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;
(2)折叠
请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由.
考点: 四边形综合题
分析: (1)①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比,然后进行转换,即可得出h与x之间的函数关系式,根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积S关于h的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s最大时h的值.
(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.
解答: 解:(1)①∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF是平行四边形.
②作AG⊥BC,交BC于G,交DF于H,
∵∠ACB=45°,AC=24cm
∴AG= =12 ,
设DF=EC=x,平行四边形的高为h,
则AH=12 h,
∵DF∥BC,
∴ = ,
∵BC=20cm,
即: =
∴x= ×20,
∵S=xh=x• × 20=20h﹣ h2.
∴﹣ =﹣ =6 ,
∵AH=12 ,
∴AF=FC,
∴在AC中点处剪四边形DECF,能使它的面积最大.
(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.
理由:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
点评: 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值.关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论.